Dalam Ketaksamaan Segitiga Jika a,b, \in \mathbb{R}, maka |a+b|\leqslant|a|+|b|.

Bukti :

Dari Teorema sebelumnya di katakan bahwa |a|\leqslant c maka -c\leqslant a\leqslant c. Sedangkan untuk |b| \leqslant c maka diperoleh -c \leqslant b \leqslant c. Sehingga kita mendapatkan -|a|\leqslant a\leqslant |a| dan -|b|\leqslant b\leqslant |b|. Dengan menjumlahkan kedua ketaksamaan diperoleh -(|a|+|b|)\leqslant a+b \leqslant |a|+|b|. Dengan menggunakan teorema |a|\leqslant c = -c\leqslant a\leqslant c kita mendapatkan |a+b| \leqslant |a|+|b|. QED.

Akibat dari Ketaksamaan segitiga diatas kita mendapatkan :

a,b, \in \mathbb{R} maka ,

1.  |a|-|b| \leqslant |a-b|

2. |a-b| \leqslant|a|+|b|

Bukti 1. |a|-|b| \leqslant |a-b|

Kita tulis a=a-b+b. Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh  |a|=|(a-b)+b| \leqslant |a-b|+|b|. Kemudian kita kurangi dengan |b| mendapatkan |a|-|b| \leqslant|a-b|.

Dengan cara yang sama untuk b=b-a+a. Dengan ketaksamaan segitiga kita peroleh b=-|a-b|\leqslant |a|=|b|.  Kita Gabungkan menjadi -|a-b| \leqslant |a|-|b|\leqslant |a=b|.

Berdasarkan teorema |a| \leqslant c kita dapatkan -c \leqslant a \leqslant c. Sehingga kita dapatkan |a|-|b| \leqslant |a-b|.

 Bukti 2. |a-b|\leqslant|a|+|b|

Gantilah b pada Ketaksamaan Segitiga dengan –b, sehingga diperoleh |a-b| \leqslant |a|+|-b|. Karena |-b|=b maka diperoleh bahwa |a-b|\leqslant |a|+|b|.  Ketaksamaan segitiga di atas dapat diperluas sehingga berlaku untuk sebarang bilangan real yang banyaknya berhingga.

Untuk pertanyaan No. 3 yaitu
|a+b+c|\leqslant|a|+|b|+|c|.

Jawaban :

Ada akibat dari Teorema diatas yaitu jika a_1,a_2,a_3,.........a_n adalah sembarang bilangan real, maka :

|a_1+a_2+a_3+.....+a_n|\leqslant |a_1|+|a_2|+|a_3|+........+|a_n|. Silahkan anda buktikan sendiri… Gampang kok…. cma ikut akibat diatas…… OK…

Iklan