Hmmm……. Sekarang saya akan membahasa soal SNMPTN bidang matematika IPA tahun 2011. Soalnya yah, cukup lumayan lah. Cuma ada satu soal yang menurut saya paling unik dan baru dapat soal model begini. hmmm….. langsung aja kita lihat soalnya.

Bola dengan diameter 8 cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah…..

a.  12

b.  16\sqrt{2}

c. 16

d. 18\sqrt{2}

e.  18

Jawaban : (c)

Penyelesaian :

Perhatikan gambar berikut :

Dari kerucut terbalik diatas kita lihat bahwa tinggi kerucut adalah AB. Kita misalkan AD=x sehingga AB=t=x+4. Misalkan juga BC=r. Sekarang kita cari panjang AE.

AE=\sqrt{AD^2-DE^2}

AE=\sqrt{x^2-16}

Sekarang kita perhatikan bahwa \bigtriangleup ADE sebangun dengan \bigtriangleup ABC. Sehingga kita mendapatkan hubungan

\dfrac{AE}{DE}=\dfrac{AB}{BC}

\dfrac{\sqrt{x^2-16}}{4}=\dfrac{x+4}{BC}

BC=\dfrac{4x+16}{\sqrt{x^2-16}}

r=\dfrac{4x+16}{\sqrt{x^2-16}}

Kita tahu bahwa Rumus umum Volume kerucut adalah V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot t. Sehingga kita dapatkan

V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot t

=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \left(\dfrac{4x+16}{\sqrt{x^2-16}}\right)^2 \cdot (x+4)

= \dfrac{1}{3} \cdot \pi \left(\dfrac{(4x+16)^2(x+4)}{(x^2-16)}\right)

=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \left(\dfrac{4^2(x+4)^2(x+4)}{(x-4)(x+4)}\right)

V= \dfrac{16}{3}\pi \left(\dfrac{(x+4)^2}{(x-4)}\right)

Kemudian kita mencari turunan pertama dari fungsi diatas yaitu:

V=\dfrac{16}{3}\pi \left(\dfrac{(x+4)^2}{(x-4)}\right)

V'= \dfrac{16}{3}\pi \left(\dfrac{2(x+4)(x-4)-(x+4)^2}{(x-4)^2}\right)

=\dfrac{16}{3}\pi \left(\dfrac{2x^2-32-(x^2+8x+16)}{(x-4)^2}\right)

=\dfrac{16}{3}\pi \left(\dfrac{x^2-8x-48}{(x-4)^2}\right)

Agar volume yang diperoleh minimum, maka haruslah V'=0 sehingga

\dfrac{16}{3}\pi \left(\dfrac{x^2-8x-48}{(x-4)^2}\right)=0

x^2-8x-48=0

(x-12)(x+4)=0

x=12 ataux=-4

Untuk x=-4 \Rightarrow AB=t=x+4 \Rightarrow AB=0 (Tidak Mungkin tingginya 0)

Untuk x=12 \Rightarrow AB=t=12+4 \Rightarrow AB=16. atau dengan kata lain bahwa tinggi kerucut tersebut dengan volume terkecil yang mungkin adalah t=16 cm

Selengkapnya silahkan download di snmptn 2011 Matematika

Artikel Terkait