Berikut ada soal tentang aplikasi matematika khususnya metode numerik pada Termodinamika. Kali ini saya membahas tentang persamaan Van Der Waals.

Contoh Soal :

Satu kg mol gas CO berada dalam sebuah ruang pada suhu (T) = 215^oK dengan tekanan (P) = 70 bar. Hitunglah volume (v) dalam m^3 / kg gas dengan menggunakan persamaan Van der Waals untuk gas yang tidak ideal:

{\displaystyle (P+\frac{a}{v^2})(v-b)=R T}, Yang dalam hal ini R=0,08314 bar m^3/kg mol ^0K), a = 1,463 bar m^6 /(kg mol)^2 dan b = 0.0394 m^3 / kg. Bandingkan hasilnya dengan volume yang dihitung dengan persamaan gas ideal PV=RT. Gunakan metode Newton-Raphson untuk menghitung nilai v. (Petunjuk: Persamaan Van der Waals di atas ditulis sebagai:

f(v)={\displaystyle (P+\frac{a}{v^2})(v-b)-R T}. Tentukan terlebih dahulu turunan f terhadap v.

Jawaban :

Pertama-tama kita membuat plot grafik dari f(v)={\displaystyle (P+\frac{a}{v^2})(v-b)-R T} terlebih dahulu.

Kita susun persamaan tersebut yaitu :

f(v)={\displaystyle (P+\frac{a}{v^2})(v-b)-R T}

f(v)={\displaystyle Pv-Pb+\frac{a}{v}-\frac{ab}{v^2}-RT}

dengan nilai-nilai parameter P=70, T=215, R=0,08314, a=1,463, dan b=0,0394, sehingga persamaannya menjadi:

f(v)={\displaystyle (70+\frac{1,463}{v^2})(v-0,0394)-17,87510}

f(v)={\displaystyle 70v+\frac{1,463}{v}-\frac{0,0576422}{v^2}-20,63310}

Dengan menggunakan software maple 13,0 dari waterloo kita dapat membuat plot grafiknya yaitu :

Plot Grafik persamaan gas Van Der Waals

Dari grafik diatas kita dapat menentukan tebakan awal kita x_0=0,2. Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan f(v)={\displaystyle 70v+\frac{1,463}{v}-\frac{0,0576422}{v^2}-20,63310} dengan menggunakan metode Newton-Rapshon dengan Rumus {\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}.

terlebih dahulu kita mencari turunan dari fungsi diatas yaitu :

{\displaystyle f'(v)=P-\frac{a}{v^2}+\frac{2ab}{v^3}}

{\displaystyle f'(v)=70-\frac{1,463}{v^2}+\frac{0,1152844}{v^3}}

Dengan tebakan awal v_0=0,2 kita terapkan dalam rumus {\displaystyle v_{n+1}=v_n-\frac{f(v_n)}{f'(v_n)}}

{\displaystyle f(0,2)=-0,759155000}

{\displaystyle f'(0,2)=47,83555000}

{\displaystyle v_1=0,2-\frac{-0,759155000}{47,83555000}=0,2158701008}

{\displaystyle f(0,2158701008)=0,018071205}

{\displaystyle f'(0,2158701008)=50,06530592}

{\displaystyle v_2=0,2158701008-\frac{0,018071205}{50,06530592}= 0,2155091481}

{\displaystyle f(0,2155091481)=0,000008578}

{\displaystyle f'(0,2155091481)=50,01773230}

{\displaystyle v_3=0,2155091481-\frac{0,000008578}{50,01773230}=0,2155089766}

{\displaystyle f(0,2155089766)= -5.10^{-9}}

{\displaystyle f'(0,2155089766)=50,01770968}

{\displaystyle v_4=0,2155089766-\frac{-5.10^{-9}}{50,01770968}=0,2155089767}

{\displaystyle f(0,2155089767)=3.10^{-9}}

{\displaystyle f'(0,2155089767)=50,01770968}

{\displaystyle v_5=0,2155089767-\frac{3.10^{-9}}{50,01770968}=0,2155089766}

Berikut adalah plot solusi persamaan Van Der Waals dengan 5 kali iterasi :

Plot Grafik Solusi persamaan Van Der Waals dengan metode Newton-Raphson

Setelah melakukan 5 kali iterasi maka didapatkan akar-akar persamaannya yaitu : 0,2155089766.

jadi dapat di simpulkan bahwa v=0,2155089766. atau dengan kata lain bahwa volume gas tersebut adalah v=0,2155089766 m^3/kg

Jika kita bandingkan dengan menggunakan persamaan gas ideal yaitu Pv=RT maka kita dapatkan volume gas tersebut adalah {\displaystyle v=\frac{RT}{P}}

{\displaystyle v=\frac{0,08314 . 215}{70}}

{\displaystyle v=0,25535857142857142857142857142857}

Sedikit berbeda kan ????