Tentukan Nilai dari {\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{\sin(x)-\cos(x)}dx}

Jawaban :

Sebelum kita mengerjakan soal tersebut, terlebih dahulu kita harus tahu tentang teori yang berkaitan dengan integral seperti berikut ini.

{\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)\, dx=\int_{0}^{a}f(a-x)\, dx}

Dari teori tersebut maka kita akan dapat menjawab pertanyaan diatas.

Kita misalkan

(I) {\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{\sin(x)-\cos(x)}dx=L}

Kemudian

(II) {\displaystyle L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x)-\cos(\frac{\pi}{2}-x)}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\cos(x)-\sin(x)}dx}

Kemudian kita jumlahkan (I) dan (II) sehingga kita dapatkan

{\displaystyle L+L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{\sin(x)-\cos(x)}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\cos(x)-\sin(x)}dx}

{\displaystyle 2L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left( \frac{\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)-\cos(x)}\right)dx}

{\displaystyle 2L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx}

{\displaystyle 2L=x\Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}}

{\displaystyle 2L=\frac{\pi}{2}}

{\displaystyle L=\frac{\pi}{4}}

Jadi, nilai dari {\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{\sin(x)-\cos(x)}dx=\frac{\pi}{4}}. Ga Percaya ??? Coba Cek pake Maple… !!! heheheh😛