Coba nulis ulang neh, dah lama ga sempat nulis lagi di blog. Vakum neh kayaknya. Gimana mau naek Pagerank. HehehehešŸ™‚

Sekarang aku nyoba nulis integral tak wajar dari fungsi sinus. Begini neh soalnya :

Jika diketahui nilai dari {\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{sin(x)}{x} dx =\frac{1}{2} \pi}, maka carilah nilai dari integralĀ {\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{sin^{2}(x)}{x^2} dx} !

Neh aku nyoba jawab. Jawabannya Versi saya bgini neh :

Kita tulis Fungsinya menjadi lebih umum yaitu :

{\displaystyle F(a)=\int_{0}^{\infty} \frac{sin^2(ax)}{x^2} dx} dengan a\geq 0. Kemudian kita turunkan fungsinya terhadap a sehingga menjadi:

{\displaystyle F'(a)=\int_{0}^{\infty} \frac{2 \sin(ax) \cos(ax) x}{x^2} dx}

{\displaystyle F'(a)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(2ax)}{x}dx}

kemudian kita misalkan :

y=2ax

{\displaystyle dy=2adx}

{\displaystyle dx=\frac{dy}{2a}}

kita integralkan fungsi diatas, maka kita dapatkanĀ {\displaystyle x=\frac{y}{2a}}.

Sekarang mari kita lanjutkan memanipulasi fungsinya.

{\displaystyle F'(a)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(y)}{\frac{y}{2a}} \frac{dy}{2a}}

Sehingga kita dapatkanĀ {\displaystyle F'(a)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(y)}{y} dy}

KarenaĀ {\displaystyle F'(a)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(y)}{y} dy=\frac{\pi}{2}} makaĀ {\displaystyle \int F'(a)=\int \frac{\pi}{2}da}.

maka diperoleh:

{\displaystyle F(a)=\frac{\pi}{2}a+C}

Untuk a=0 maka F(0)=C

didapatkan C=0. Sehingga {\displaystyle F(a)=\frac{\pi}{2}a}

Sekarang untuk a\geq 0 katakanlah a=1 maka kita dapatkan {\displaystyle F(a)=\frac{\pi}{2}}. Jadi, dapat kita simpulkan bahwa nilai dariĀ {\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{sin^{2}(x)}{x^2} dx=\frac{\pi}{2}}.

Kita juga dapat mengganti nilai a sesuai dengan keinginan kita. Misalkan kita mengganti nilai a=2, maka kita akan mendapatkan hasil F(a)=\pi. Tidak percaya ? silahkan anda buktikan pake maple. hehehehehešŸ˜€

Sekian dulu postingannya yah. Jika ada pertanyaan, silahkan kirim komentar dibawah…..

alfysta.wordpress.com