Sekarang kita akan mempelajari induksi matematika yang merupakan dasar dari pembuktian seorang matematikawan untuk lebih lanjut belajar analisis real, dan sejenisnya.  Semesta pembicaraan dari Induksi matematika adalah bilangan asli (\mathbb{N})

Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian dengan cara ini terdiri dari dua langkah, yaitu:

  1. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.
  2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n + 1.

Misalkan akan dibuktikan suatu pernyataan bahwa jumlah n bilangan asli pertama, yaitu 1+2+........+n, adalah sama dengan {\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}.  Untuk membuktikan bahwa pernyataan itu berlaku untuk setiap bilangan asli, langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

  1. Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas sekali bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah {\displaystyle \frac{1(1+1)}{2} = 1}. Jadi pernyataan tersebut adalah benar untuk n = 1.
  2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n=k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Hal ini bisa dilakukan dengan cara: Mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu
    {\displaystyle 1+2+3+4+........+k=\frac{k(k+1)}{2}}. Menambahkan k + 1 pada kedua ruas, yaitu:
    {\displaystyle 1+2+3+4+........+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2} (k+1)}.Dengan menggunakan manipulasi aljabar diperoleh :
    {\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}}
    {\displaystyle =\frac{(k+1)(k+2)}{2}}
    {\displaystyle =\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}}
    Dengan demikian :
    {\displaystyle 1+2+3+4+........+k+(k+1)=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}}
    Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.
  3. Dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk setiap bilangan asli n.