Oleh : Fendi Alfi Fauzi

Persamaan Euler Lagrange

Tentukan solusi Persamaan Euler Lagrange berikut :

\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[y^{2}-(y')^{2}-2y\, cosh\,(x)\right]dx

dimana f(x,y,y')=y^{2}-(y')^{2}-2y\, cosh\,(x)

persamaan Euler Lagrange yang kita maksud adalah :

\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0

Sekarang kita cari satu-satu yah :

\frac{\partial f}{\partial y}=2y-2\, Cosh\, x

\frac{\partial f}{\partial y'}=-2y'

Sehingga kita masukkan kedalam persamaan Euler-Lagrange menjadi :

2y-2\, Cosh\, x-\frac{d}{dx}(-2y')=0

2y-2\, Cosh\, x+2y''=0

2y''+2y=2\, Cosh\, x

y''+y=Cosh\, x

Kita tahu bahwa bentuk diatas adalah bentuk persamaan diferensial tak homogen orde dua. Sehingga dapat kita cari solusi umumnya dengan mencari persamaan yang homogen :

Terlebih dahulu kita mencari y_{c}

y''+y=0

Kita dapatkan

r^{2}+1=0

r^{2}=-1

r=\sqrt{-1}

r=i

Sehingga kita peroleh solusi dari persamaan homogen yaitu:

y_{c}=C_{1}cos\, x+C_{2}sin\, x

Selanjutnya kita akan mencari persamaan tak homogennya yaitu :

y_{p}=A\, sinh\, x+B\, cosh\, x

y'_{p}=A\, cosh\, x+B\, sinh\, x

y''_{p}=A\, sinh\, x+B\, cosh\, x

masukkan kedalam persamaan pertama yaitu :

y''+y=cosh\, x

A\, sinh\, x+B\, cosh\, x+A\, sinh\, x+B\, cosh\, x=cosh\, x

A(sinh\, x+sinh\, x)+B(cosh\, x+cosh\, x)=cosh\, x

A(2\, sinh\, x)+B(2\, cosh\, x)=cosh\, x

2A(sinh\, x)+2B(cosh\, x)=cosh\, x

2A=0

A=0

2B=1

B=\frac{1}{2}

y_{p}=\frac{1}{2}\, cosh\, x

Sehingga kita peroleh solusi khusus yaitu :

y(x)=C_{1}cos\, x+C_{2}\, sin\, x+\frac{1}{2}\, cosh\, x

Salam by Fendi