S

ekarang saya akan coba berkonsentrasi pada soal olimpiade matematika yang notabenya amat sangat susah. Saya akui bahwa soal-soal olimpiade matematika sangat susah untuk diselesaikan dengan hanya mengandalkan materi sekolah ataupun materi-materi perkuliahan.  Bayangkan saja untuk tingkatan Sekolah menengah Pertama sudah diberikan bilangan Modulo yang seharusnya diberikan di jenjang perkuliahan. oleh karena itu perlu membekali diri dengan materi lain di luar sekolah. Berbekal ilmu yang sedikit, mari kita coba bahas soal-soal tersebut.  Pembahasan soal-soal tersebut juga saya ambil dari bukunya Pak Edi.

1.  Buktikan bahwa a^9-a habis dibagi 6, untuk setiap bilangan bulat a !

Jawaban :

a^9-a = a (a^8-1)
a^9-a = a (a^4-1)(a^4+1)
a^9 - a = a (a^2 - 1) (a^2 + 1) (a^4 + 1)
a^9 - a = (a - 1) a (a + 1) (a^2 + 1) (a^4 + 1)
Karena (a - 1) a (a + 1) adalah perkalian 3 bilangan bulat berurutan maka a^9 - a habis dibagi 3! = 6

2.   (OSK 2004 SMP/MTs) Nilai dari \sqrt{5050^2-4950^2}=….

Jawaban :

Perhatikan bahwa a^2-b^2=(a+b)(a-b) maka
\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(5050+4950)(5050-4950)}
\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(10000)(100)}
\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{1000000}
\sqrt{5050^2-4950^2}=1000

3.  (OSK 2005 SMP/MTs) Salah satu faktor dari 17^3-53 adalah….

Jawaban :

Perhatikan bahwa a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) maka
173-53=(17-5)(172+17 \cdot 5+52)
173-53=12 \cdot 399
Jadi, Salah satu faktor dari 17^3-53 adalah 399

4.   (OSK 2011 Tipe 1) Jika A=5^x+5^{-x} dan B=5^x-5^{-x} maka A^2-B^2 adalah ….

Jawaban :

A=5^x+5^{-x} dan B=5^x-5^{-x}
A+B=(5^x+5^{-x})+(5^x-5^{-x})=2 \cdot 5^x
A-B=(5^x+5^{-x})-(5^x-5^{-x})=2 \cdot 5^{-x}
A^2-B^2=(A+B)(A-B)=2 \cdot 5^x \cdot 2 \cdot 5^{-x}=4
Jadi, A^2-B^2=4

5.   (OSK 2006) Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5. Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke….

Jawaban 

u_{25}=3(u_5), Maka a+24b=3(a+4b) sehingga a=6b
u_n=a+(n-1)b=2u_1=2a
6b_(n-1)b=2(6b)
n=7
Jadi, Suku tersebut adalah suku ke-7

6.  (Canadian MO 1997) Buktikan bahwa \dfrac{1}{1999} < \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{6} \ldots \dfrac{1997}{1998} < \dfrac{1}{44}.

Jawaban :

Kita misalkan P=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{6} \ldots \dfrac{1997}{1998} dan Q=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{7} \ldots \dfrac{1998}{1999}
PQ=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{6} \ldots \dfrac{1997}{1998} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{7} \ldots \dfrac{1998}{1999}=\frac{1}{1999}
Jelas bahwa P<Q.
P^2<PQ sehingga P^2<\dfrac{1}{1999}<\dfrac{1}{44^2}. Maka P<\dfrac{1}{44}
P>\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{7} \ldots \dfrac{1997}{1999}=\dfrac{1}{1999}
Maka diperoleh \dfrac{1}{1999} < P < \dfrac{1}{44}
Sehingga \dfrac{1}{1999} < \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{6} \ldots \dfrac{1997}{1998} < \dfrac{1}{44} (Terbukti)

Sudah dulu yah…. Dah capek banget….. nanti kita sambung lagi… :D

About these ads